Toen ik het artikel over calorieën schreef voor het mei nummer, bedacht ik een methode om uit het eind-SG en het alcoholpercentage te berekenen hoeveel restsuikers in bier zaten. Toen al realiseerde ik me dat het met dezelfde methode  ook mogelijk moest zijn om het omgekeerde te doen: vanuit begin-SG en eind-SG te berekenen wat het alcoholpercentage is.

Natuurlijk zijn er al diverse methoden om deze berekening te doen, maar ik denk dat deze rekenwijze, door de andere benadering, iets nauwkeuriger is. Dat komt vooral omdat de meeste benaderingen aannames doen over bepaalde verhoudingen, terwijl je die gewoon kunt berekenen. In grote lijnen zijn de uitkomsten hetzelfde, wat de geldigheid van deze benadering aantoont.

Wie het artikel over calorieën heeft gelezen, heeft een voorsprong! Een aantal formules zijn exact gelijk. Ik herhaal ze in dit artikel toch maar even.

Ik heb onderstaande formules verwerkt in mijn SG rekenpagina (http://www.gerstenat.nl/soortelijk.gewicht). Daarmee kan direct online bepaald worden wat het alcoholpercentage (en andere gegevens) van je zelfgebrouwen bier is.

Extractgehalte vóór vergisting

De meeste berekeningen van extractgehalte (hoeveelheid suiker in een oplossing bij een bepaald SG), gaan uit van een basisformule die werd genoemd in Understanding Specific Gravity and Extract, Brewing Techniques, 1,3:30-35 (1993) van Manning, M.P. :

• EH = -676.67D + 1286.4*D² - 800.47*D³ + 190.74*D⁴

D : dichtheid (SG in gram/ml) , EH : Extractgehalte (g/100ml)
Deze formule is ontstaan uit een tabel met meetwaarden, die met een wiskundige formule is benaderd. Hoewel deze formule redelijk werkt, zeggen de grootheden me niets. Waarom 676.67, wat betekent die waarde in de natuurkunde?

Samen met mijn vrouw heb ik me over een andere benadering gebogen. Stel dat je weet wat het SG van opgeloste suiker is, is zo'n formule dan niet logischer, meer volgens de natuurkundewetten, te maken? Het mooie van deze methode is dat je na afloop van de berekeningen redelijk nauwkeurig weet wat het aantal grammen suiker en alcohol per liter is. En dat allemaal met simpele middelbare-school natuurkunde! Vanuit dat aantal grammen kun je dan eenvoudig en nauwkeurig alcoholpercentage en kCal terugrekenen.

Er was wel een lastig probleem te overwinnen! Als 2 stoffen gemengd worden, bijvoorbeeld suiker en water, wordt de massa uiteraard de som van de massa's. Voor het volume geldt dit echter niet. De moleculen van de stoffen trekken elkaar namelijk aan, hierdoor neemt het totaalvolume iets af. Het is alsof je een emmer kiezels en een emmer zand mengt en dan ontdekt dat het in totaal minder dan 2 emmers oplevert, omdat het zand tussen de kiezels gaat zitten. Zo ook hier.

Na uitwerking bleek dat het SG van opgeloste suiker 1,619 gram/ml is. Als je dus 100 gram suiker oplost in water, neemt het volume toe met 100 g/1,619 g/ml = 61,77 ml. Een dichtheidstabel die ik met dit gegeven maakte, lag verrassend dicht bij de (meet)waarden uit de formule van Manning. Dit SG zullen we (net als in mei)  de Schijnbare Dichtheid noemen, ter onderscheid van de gewone dichtheid van suiker.

Ik zal hieronder de afleiding geven van de formule, waarmee het extractgehalte berekend kan worden. In de formules wordt telkens een grootheid gevolgd door eens stofnaam. Reeds bekende eigenschappen (constanten en uit metingen) worden schuingedrukt. De volgende grootheden worden gebruikt:
M : massa in grammen, V : volume in ml, D : Dichtheid in gram/ml, SD : Schijnbare dichtheid in gram/ml

Uitgangsformules:

• M_totaal = M_water + M_suiker   (De totale massa bestaat voornamelijk uit suiker en water)
• V_totaal = V_water + V_suiker    (Hetzelfde geldt voor het volume)
• M_totaal = V_totaal * D_totaal    (Middelbare school natuurkunde: SG berekeningen)
• M_suiker = V_suiker * SD_suiker    (SD is de schijnbare dichtheid, zie de tekst hierboven.)
• M_water = V_water * D_water
• D_water = 1    (Voor mensen die heel nauwkeuriger willen: 1.0 geldt bij 4 °C. Voor 20 °C is het eigenlijk 0,99823)
• SD_suiker = 1,619

 Na uitwerken krijg je dan:

• Msuiker =	Vtotaal * ( Dtotaal   -   Dwater )
  	1 - Dwater / SDsuiker

• Msuiker =	Vtotaal * (Dtotaal - 1)
  	0,3823

• M_water =V_totaal * D_totaal - M_suiker

Zie voor de exacte uitwerking mijn eigen website: http://www.gerstenat.nl/alcohol.percentage

Alcohol en suikergehalte ná vergisting

Nu het exacte suikergehalte en watergehalte bekend is, kan dat gebruikt worden om samen met het eind-SG te bepalen wat het alcoholgehalte is. Het idee is als volgt: Stel je begint met exact 1 liter water en suiker. Als je dat laat vergisten, ontsnapt een deel van het gewicht en volume als koolzuurgas, een (heel klein) deel slaat neer als gistcellen, en er blijven onvergistbare restsuikers over. De beginsituatie is bekend, en door het SG te meten kunnen we precies het restsuikergehalte  bepalen, met eenvoudige SG regels. Volgens mij is dit dan ook een nauwkeurigere methode dan de gebruikelijke aanname dat het werkelijk extractgehalte ongeveer 0.1808*Start_Plato + 0.8192*End_Plato is.

Ook hier geldt dat het volume van 2 gemengde stoffen verandert, je kunt dus niet eenvoudigweg de volumes bij elkaar optellen. Hierboven staat het principe al voor suiker uitgelegd, en hetzelfde geldt voor alcohol. Bij suikeroplossingen is het resultaat lineair, in elk geval voor de oplossingsgraden waar brouwers mee werken. Maar bij alcohol is dat niet het geval. De wikipedia geeft een zogeheten Excess Volume grafiek, zie http://en.wikipedia.org/wiki/Ethanol en http://www.farmacia.unal.edu.co/V33N2P145-156.pdf. Voor bier van ongeveer 5 procent, is de schijnbare dichtheid van alcohol 0,8486 g/ml.

De vergiste suiker wordt omgezet in alcohol (en koolzuurgas). De gewichtsverhouding van 0.484 die hier standaard voor wordt gebruikt is ooit door Balling bepaald en is iets lager dan de theoretische factor 0.505 op basis van de chemische omzettingsverhouding van glucose in alcohol en koolzuur. De Balling factor is lager vanwege vorming van o.a. gistcellen, die neerslaan en dus verdwijnen. Deze waarde wordt hier de SAfactor genoemd, de SuikerAlcohol factor.

Als we met bovenstaande factoren rekening houden, kunnen we prima een formule maken, die ons in staat stelt het alcohol percentage van bier te berekenen. Schuingedrukte waarden zijn weer bekend uit eerdere berekeningen of metingen. De volgende grootheden worden gebruikt: M : massa in grammen, V : volume (ml), D : Dichtheid (g/ml), SD : Schijnbare dichtheid (g/ml), SAfactor : gewichtsverhoudingsfactor voor omzetting van suiker in alcohol, VP : Volumeprocenten en E de energie (kCal).

Uitgangsformules:

• M_totaal = M_water +M_restsuiker + M_alcohol + M_koolzuurgas
  (Het totale gewicht (inclusief koolzuurgas) kan niet veranderen)
• M_eind = M_water + M_restsuiker + M_alcohol
  (Het gewicht aan het eind is alles zonder de koozuurgas)
• V_eind = V_water + V_restsuiker + V_alcohol
  (Hetzelfde geldt voor het volume.)
• M_water = V_water * D_water
• M_restsuiker = V_restsuiker * SD_suiker
• M_alcohol = V_alcohol * SD_alcohol
• Malcohol = SAfactor * (Msuiker - Mrestsuiker)
  (Dit is de omzetting van vergistbare suikers in alcohol)
• VP_Alcohol = (M_alcohol / D_alcohol) / V_eind
  (Vanwege de definitie van volumeprocent, moet hier door het gewone SG gedeeld worden en niet door het schijnbare SG)
• D_eind = M_eind / V_eind
  (Het Eind SG is bekend, want gemeten)
• D_water = 1
• SD_suiker = 1,619
• D_alcohol = 0,7894
• SD_alcohol = 0,8486
  (Dit geldt voor 5% volumeprocent. Nauwkeurige bepaling kan via de Wikipedia grafiek, zie link hierboven)
• SA_factor = 0,484
• E_eind = E_suiker * M_suiker + E_alcohol * M_alcohol
• E_suiker = 4 kCal / gram
• E_alcohol = 7,11 kCal / gram

Met deze betrekkelijk eenvoudige formules kunnen we het alcoholpercentage afleiden. De afleiding is iets ingewikkelder dan bij de situatie vòòr de vergisting. Uiteindelijk levert dat op:

• Mrestsuiker =	Mwater / Dwater  +  SAfactor * Msuiker / SDalcohol  -  (Mwater + SAfactor * Msuiker) / Deind
  	( 1 - SAfactor) / Deind  -  1 / SDsuiker + SAfactor / SDalcohol

• Mrestsuiker =	Mwater  +  0,5704 * Msuiker  -  (Mwater + 0,484 * Msuiker) / Deind
  	0,516 / Deind - 0.04731

• M_alcohol = SA_factor * (M_suiker - M_restsuiker)
• V_eind = (M_alcohol + M_water + M_restsuiker) / D_eind
• VP_alcohol = 100 * (M_alcohol / D_alcohol) / V_eind
• E_100ml = E_eind/V_eind*100

Zie voor de exacte uitwerking mijn eigen website: http://www.gerstenat.nl/alcohol.percentage

Een rekenvoorbeeld

Stel we hebben een pils gebrouwen met een Start-SG van 1046, en een Eind-SG van 1008. Het bier wordt niet navergist, maar onder druk afgevuld.

• Msuiker =	100 * (1,046 - 1)	=  12,03 gram suiker / 100 ml
  	0,3823

• M_water = ( 100 * 1,046 ) - 12,03 = 92,57 gram water/ 100 ml
  

• Mrestsuiker =	92,57  +  0,5704 * 12,03  -  (92,57 + 0,484 * 12,03) / 1,008	= 3,92 gram restsuiker / 100 ml
  	0,516 / 1,008 - 0.04731

• M_alcohol = 0,484 * (12,03 - 3,92) = 3,93 gram alcohol / 100 ml
• V_eind = (3,93 + 92,57 + 3,92) / 1,008 = 99,62 ml
• VP_alcohol = 100 * (3,93 / 0,7894) / 99,62 = 5,0 % alc
• E_eind = 4 * 3,92 + 7.11 * 3,93 = 43,6 kCal / 99,62 ml
• E_100ml = 43,6 / 99,62 * 100 = 43,8 kCal / 100 ml